证明（1） 　　与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　证明（2） 　　我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”.它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事.所以他们想到了三角形的三条边.如果这样做求三角形的面积也就方便多了.但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”.秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.“术”即方法.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个.相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积.所谓“实”、“隅”指的是,在方程px2=qk,p为“隅”,q为“实”.以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}当P＝1时,△2＝q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}因式分解得△^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]=1/16[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2]=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/16[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”.S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2]^2}.其中c>b>a.根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算.如下题：已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边）代入解得s=8√3 　　证明（3） 　　在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、cO为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2∴r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2=ptanA/2tanB/2tanC/2=r∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)证明(4)通过正弦定理:和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1)