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设函数y=f(x)在区间[0,1]上可导,在(0,1)内恒取正值,且满足xf′(x)=f(x)+3x2,又由曲线y=f(x)与直线x=1,y=0所围成的图形S的面积为2,求函数f(x)的表达式,并计算图形S绕x轴旋
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问题描述:

设函数y=f(x)在区间[0,1]上可导,在(0,1)内恒取正值,且满足xf′(x)=f(x)+3x2,又由曲线y=f(x)与直线x=1,y=0所围成的图形S的面积为2,求函数f(x)的表达式,并计算图形S绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

容太平回答:
  由xf′(x)=f(x)+3x2,得   f′(x)−1xf(x)=3x
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