如图,在三角形ABC中,AD平分角BAC,点E、F分别为AB、AC上的点,角EDF+角BAF=180度.求证：DE=DF
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问题描述：
如图,在三角形ABC中,AD平分角BAC,点E、F分别为AB、AC上的点,角EDF+角BAF=180度.求证：DE=DF
苏竞秀回答：
证明：过D分别作AB、AC的垂线,垂足分别为P、Q所以∠APD=∠AQD=90°因为AD平分∠BAC所以DP=DQ（角平分线上的点到角两边的距离相等）在四边形APDQ中∠PAD+∠APD+∠AQD+∠PDQ=360°（四边形的内角和为360°）而∠APD+∠AQD=180°所以∠PAD+∠PDQ=180°即∠BAC+∠PDQ=180°而∠EDF+∠BAC=180°所以∠EDF=∠PDQ因为AD是∠BAC的平分线,DQ⊥AC,DP⊥AB所以AD也是∠PDQ的平分线故∠PDA=∠ADQ,∠BAD=∠DAC∠EDP=∠ADE-∠ADP∠FDQ=∠ADQ-∠ADF所以∠EDP-∠FDQ=∠ADE-∠ADP-∠ADQ+∠ADF=∠ADE+∠ADF-(∠ADP+∠ADQ)=∠EDF-∠PDQ已证∠EDF=∠PDQ所以∠EDP-∠FDQ=0即∠EDP=∠FDQ在直角三角形EDP和直角三角形FDQ中∠EDP=∠FDQ（已求）DQ=DQ（已求）∠EPD=∠FQD=90°(已知)所以直角三角形EDP和直角三角形FDQ全等（ASA）所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）.
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