换元积分时上下限怎样确定以求半圆的面积为例,∫根号r^2-x^2dx,上限r下限-r,如果设cosθ=x/r,进行换元积分,那么对于上限就有cosθ=1,对于下限有cosθ=-1,这时分别有θ=0,θ=π,把这个上下限代进去,
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问题描述：
换元积分时上下限怎样确定
以求半圆的面积为例,∫根号r^2-x^2dx,上限r下限-r,如果设cosθ=x/r,进行换元积分,那么对于上限就有cosθ=1,对于下限有cosθ=-1,这时分别有θ=0,θ=π,把这个上下限代进去,计算出来的面积是正确的.但是,三角函数是周期函数,有无数个θ满足条件,为什么偏偏是上限为0,下限为π时才正确呢?换元积分上下限变换需要满足什么条件?
盛波回答：
当你将x从r变到-r时,若令cosθ=x/r,则θ正好从0变到π.而且这种变换是一一对应的.这样θ的积分限一般取为[0,π].但由于cosθ是周期为2π的函数,积分限也可写成[2π,3π]或[2nπ,(2n+1)π].取[0,π]是最简洁的写法,也是一种习惯的写法.从理论上说积分限取[2nπ,(2n+1)π]也没错,只是不太合习惯.
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