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旋转体的问题设平面图形由y=x^3,直线y=0及x=2围成,求该图形绕y轴旋转所得图形.这题我怎么算都算不出64π/5
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问题描述:

旋转体的问题

设平面图形由y=x^3,直线y=0及x=2围成,求该图形绕y轴旋转所得图形.

这题我怎么算都算不出

64π/5

顾传青回答:
  将x轴等分为若干份,间距为dx,相应地,在y轴上对应的间距则为dy,用垂直于y轴的平面将该旋转体切成一系列薄片,那么这些薄片是一系列圆环式的柱体,其外半径为2,高为dy,所以   该柱体在横坐标为x处的内半径为x,   其底面积S=π*2²-π*x²=π(4-x²)   其体积为dV=S*dy=π(4-x²)*d(x³)=π(4-x²)*3x²dx=3π(4x²-x^4)dx   所以整个旋转体的体积   V=∫[3π(4x²-x^4)]dx   =3π(4x³/3-x^5/5)∣   =3π(4*2³/3-2^5/5)   =64π/5
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