【困扰我的集合论自然数集合和有理数集合比较,应该是有理数集合大.因为他们这两个集合的元素不是一一对应的.有理数中除了自然数还有负数,所以显然数有理数集合大.但是康托尔证明,有理】
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问题描述：
困扰我的集合论
自然数集合和有理数集合比较,应该是有理数集合大.因为他们这两个集合的元素不是一一对应的.有理数中除了自然数还有负数,所以显然数有理数集合大.
但是康托尔证明,有理数为可数集合,实数为不可数集合.他也证明了全体自然数和有理数一一对应.这是怎么回事?他具体是怎么证明的?
有理数和自然数到底是不是一一对应?他们谁大?什么是一一对应?
上帝说的对，但是
自然数集是有理数集的一个真子集，元素的个数肯定比有理数集得个数要少得多。基数的概念是什么？
是不是从不同的概念来说，结论不一样，不能简单地用一句话说？
唐小静回答：
LS胡说.
一一对应跟元素本身无关.
都是无穷集,要比较集合的基数.
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可数集是能与自然数集N建立一一对应的集合.又称可列集.如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号,那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1,a2,a3,…an,….例如,全体正偶数的集合是一个可数集,全体正奇数的集合也是可数集.
整数集与有理数集都是可数集.按照基数概念,能一一对应的两个集合的基数相同,于是有理数集、整数集、全体正偶数集等与自然数集有相同的基数.在这个意义上说,这些集合所含元素是“一样多”,但这些集合又是一个包含另一个作为真子集,所以又不同于有限集元素的“多少”概念.值得注意的是,并非所有的无穷集都是可数集,因为G.康托尔证明了实数集不是可数集,这样,实数集与自然数集有不同的基数,因而说明了无穷集所含元素数量的多少还有某种层次区别.
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引理：Ai(i=1,2,3...)均为可数集.则U（1,∞）Ai也是可数集.（即可数集的并集仍为可数集）
（定义1：对等：A与B中存在11映射m（A-->B）乘A与B对等
定义2：可数集：与正整数集合对等的集合称为可数集）
证：设Ai=(1/i,2/i,3/i,...）(i=1,2,3...)则Ai是可数集.由引理知全体正有理数Q+=U(1,∞)Ai为可数集.且存在11映射f(j)=-j使全体正有理数与负有理数对等,因此负有理数集也为可数集.全体有理数集=全体正有理数U全体负有理数集U{0},可数集与有限集的并仍为可数集.=>有理数集为可数集.
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无穷集的个数不是按LZ说的那样理解.所有可数集是等基数集.
关于基数：
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