一.判断与命题 　　1.判断的意义和结构 　　判断是对思维对象有所断定的思维形式.“断定”就是肯定或否定,不模棱两可.例如,“是无理数”,“△ABC不是直角三角形”,这种判断是判断某一属性是否属于这个或那个事物；又如,“三角形三内角之和等于180°”,这种判断是判断各个思维对象间的关系；再如,“直线c经过直线a与b的交点p”,这种判断是判断各思维对象间的制约关系. 　　任何判断都应具有两个基本特征：一是一定“要有所断定”.不能作出肯定或否定的思维形式,不能称其为判断.例如,“△ABC是直角三角形吗?”就不是判断.二是有真假之分.如果一个判断符合客观实际,它就是真实的,否则就是虚假的.例如,“三角形三内角之和大于180°”就是一个假判断. 　　判断一般采用“主词——系词——宾词”的结构.主词（S）是思维的对象,即需要作出判断的事物或现象,宾词（P）是用来表达对象具有或不具有某种属性,系词是用来联接主词和宾词的,通常用“是”或“不是”来表示肯定或否定. 　　判断按其性质来分有肯定判断和否定判断,按判断中的主词外延是宾词外延的全部或是部分来分,有全称判断和特称判断,如果将两种分类结合起来就可以形成下面四种判断： 　　(1)全称肯定判断,记作A.其逻辑形式是“所有S都是P”,简记为SAP. 　　(2)全称否定判断,记作E.其逻辑形式是“所有S都不是P”,简记为SEP. 　　(3)特称肯定判断,记作I.其逻辑形式是“有些S是P”,简记为SIP. 　　(4)特称否定判断,记作O.其逻辑形式是“有些S不是P”,简记为SOP. 　　2.命题及其基本运算 　　表示判断的陈述语句称为命题,数学中表示判断的陈述语句称为数学命题,也简称为命题.命题中常用的连接词有“非”、“或”、“且”、“蕴含”、“等值”等等.判断有真假之分,命题也有真假之分,而在结构上可分为简单命题与复合命题两种类型.数学中把真实性为人们所公认而又不加以证明的数学命题,称为公理.在数学科学体系中,一般要求公理具有无矛盾性、独立性和完备性,但在中学数学教材体系中,考虑到学生接受能力,往往把一些公理体系之外的真命题也作为公理,即不一定严格要求公理体系的独立性.数学中,根据已知概念和已知的命题,遵照逻辑规律运用逻辑推理方法已证明真实性的命题称为定理. 　　命题的运算就是通过命题的符号化、形式化,由若干个命题,构建新的命题.命题演算的关键是逻辑联结词的运用.因此,命题运算实际上是命题的逻辑联结.命题的基本运算有：否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当等. 　　对于命题p、q、r,如果p是一个真命题,则记为p=1；如果q是一个假命题,则记为q=1. 　　(1)否定（非“「”）.命题p与联表3-1 　　结词“「”构成复合命题“「p”.「pP「p 　　称为p的否定式,也称为负命题,其10 　　真值表为表3-1.这里表明,若命题01 　　p为真,则「p为假；若命题p为假,则「p为真. 　　（2）合取（与、且“∧”）.两个命题p、q用“∧”联结起来,构成复合命题“p∧q”.p∧q称为p、q的合取式,p、q称为合取项.命题p∧q又称为联言命题,其真值表为表3-2.这里表明,若p、q都真,则p∧q为真；若p、q中至少有一个为假,则p∧q为假. 　　表3-2表3-3 　　pqp∧qpqp∨q 　　111111 　　100101 　　000011 　　000000 　　（3）析取（或“∨”）.两个命题p、q用“∨”联结起来,构成复合命题“p∨q”.p∨q称为p、q的析取式,p、q称为析取项.命题p∨q又称为选言命题,其真值表为表3-3.这里表明,若p、q中至少一个为真,则p∨q为真；只有p、q都假,才有p∨q为假. 　　（4）蕴涵（如果（若）…那么（则）…“→”）.给定两个命题p、q用“→”联结起来,构成复合命题“p→q”.p→q称为p、q的蕴涵式,p称为条件（或前件）,q称为结论（或后件）.命题p→q又称为假言命题,其真值表为表3-4.这里表明,除去p真q假,则p→q为假外,其余情况p→q都真. 　　表3-4表3-5 　　pqp→qpqpq 　　111111 　　100100 　　011`010 　　001001 　　（5）当且仅当（“”）.给定两个命题p、q用“”联结起来,构成复合命题“pq”.pq称为p、q的等价式.命题pq又称为充要条件假言命题,其真值表为表3-5.这里表明,若p、q同真或同假时,pq为真,其余皆假. 　　运用以上介绍的五种逻辑联词以及否定式、合取式、析取式、蕴涵式和等价式的真值表,还可以进行命题的多种复合运算,并确定运算结果所得命题的真值表.在命题的演算过程中,还要遵循一系列的运算律,这些请读者参阅有关逻辑学文献. 　　二.命题的四种基本形式及其关系 　　数学命题的四种基本形式如下： 　　原命题p→q；逆命题q→p； 　　否命题「p→「q；逆否命题「q→「p. 　　它们之间的关系可用图解表示如下图： 　　原命题互逆逆命题 　　p→qq→p 　　互互 　　互为逆否 　　否否 　　否命题逆否命题 　　「p→「q互逆「q→「p 　　图3-8 　　以上四种命题的真假,有一定的逻辑联系.互为逆否的两个命题是逻辑等价的,可通过真值表或命题运算律加以验证.例如 　　表3-6 　　pqp→q「q「p「q→「p 　　111001 　　100100 　　011011 　　001111 　　可见,p→q与「q→「p等价,即p→q与「q→「p同真同假. 　　为了加深对上面的真值表的理解,我们来看下面三组例子： 　　例1.（1）若三角形中有两边相等,则其对角相等.（真） 　　（2）若三角形中有两角相等,则其对边也相等.（真） 　　（3）若三角形中有两边不等,则其对角也不相等.（真） 　　（4）若三角形中有两角不等,则其对边也不相等.（真） 　　例2.（1）若两角为对顶角,则此二角相等.（真） 　　（2）若两角相等,则此二角为对顶角.（假） 　　（3）若两角不是对顶角,则此二角不相等.（假） 　　（4）若两角不相等,则此二角不是对顶角.（真） 　　例3.（1）