数列综合 　　数列作为特殊的函数,在很多问题上的解决方法都与函数相似.比如,在分析数列性质时,往往都要从数列中每一项的下标分析入手,这一点,与解决函数问题时要从对自变量的分析入手一样.函数与方程及不等式有着密切的联系,所以,数列问题又可与方程和不等式相结合.因此,在解决数列问题时,要注意重在方法上与函数、方程、不等式相类比,同时也充分关注到数列本身的一些特殊性质. 　　1．已知是关于的一次函数,是关于的二次函数,的图象是开口向下,对称轴为的抛物线,数列满足,而恰为数列的前项和. 　　（1）证明为等差数列,说明首项a1与公差d的符号； 　　（2）求出满足的最大正整数,判断此时与的大小,并说明理由； 　　（3）当a1=21时,求出与的解析式. 　　分析：本题考查等差数列的定义,通项公式,前项和公式的应用,综合考查数列与函数的综合. 　　解析： 　　（1）设, 　　∴, 　　∴（常数） 　　∴是公差为k的等差数列. 　　∴ 　　∴, 　　又的图象开口向下,且对称轴为 　　∴的公差d=k＜0且 　　∴ 　　∴ 　　（2） 　　令 　　∴,∴ 　　∵n∈N*,∴满足的最大正整数n=6. 　　∴ 　　∴ 　　,∴ 　　（3）,∴k=－4,b=25, 　　∴, 　　反思：对于第（2）问,可以结合二次函数性质及等差数列性质, 　　法二：∵开口向下,对称轴且由等数列前n项和公式可知 　　∴图象与x轴交点横坐标为. 　　∴S11=11a6＞0,S12=6(a6+a1)＜0 　　∴a6＞0,a7＜0 　　∴a1＞a2＞a3＞…＞a6＞0＞a7＞a8＞… 　　2．已知点是函数（a＞0且a≠1）的图象上的一点,等比数列的前n项和为,数列（）的首项为c,且前n项和满足. 　　（1）求数列和的通项公式； 　　（2）若数列前n项和为,问的最小正整数n是多少? 　　分析：本题考查数列知识的综合运用,与的关系,以及特殊数列求和及不等式的相关知识,解题过程中注重化归为基本问题. 　　解析： 　　（1）∵,∴ 　　∴, 　　∵是等比数列,∴ 　　∴c=1且公比 　　∴, 　　∵ 　　,∴且b1=S1=1 　　∴是首项为1公差为1的等差数列 　　∴（）, 　　∴当n≥2时 　　当n=1时b1=1=2×1－1 　　综上,（） 　　（2） 　　∴ 　　由得 　　∴满足的最小正整数n=112. 　　3．等比数列的前n项和为,已知对任意的n∈N+,点均在函数（b＞0且b≠1,b,r均为常数）的图像上. 　　（1）求r的值； 　　（2）当b=2时,记（n∈N+）,求数列的前n项和. 　　分析：本题考查与的关系,即由求,以及特殊数列求和. 　　解析： 　　（1）由已知 　　∴a1=S1=b+r,a2=S2－S1=b2－b,a3=S3－S2=b3－b2 　　∵是等比数列,∴ 　　∴(b2―b)2=(b+r)(b3―b2),化简得(1+r)(b－1)·b2=0 　　∵b＞0且b≠1,∴1+r=0,r=－1 　　（2）由（1）知 　　∴a1=S1=1, 　　∴, 　　∴① 　　② 　　①－②： 　　∴ 　　反思：错位相减求和时注意运算. 　　4．曲线C：y=(x+a)3（a≠0）,以P0（0,a3）为切点,作曲线C的切线交x轴于Q1,过Q1作x轴的垂线交曲线C于P1（x1,y1）；以P1（x1,y1）为切点作曲线C的切线交x轴于Q2,过Q2作x轴的垂线交曲线C于P2（x2,y2）；如此继续下去,得到点列 　　（1）求与的关系（n≥2）； 　　（2）求,的通项公式. 　　分析：本题考查导数,数列的相关知识的综合运用. 　　解析： 　　（1） 　　∴过点的切线方程 　　其中 　　令y=0,∴ 　　若存在n0使,则当n0=0时,与已知矛盾! 　　∴, 　　∴,∴ 　　∴ 　　（2）且, 　　∴是首项为,公比为的等比数列 　　∴,∴ 　　反思：注意题目中出现了形如的递推关系,可利用如下待定系数法求通项公式. 　　令,∴ 　　∴, 　　∴ 　　∴在时数列即为公比是p的等比数列. 　　5．已知曲线（n=1,2,…）.从点P（－1,0）向曲线引斜率为的切线,切点为. 　　（1）求数列与的通项公式； 　　（2）证明：. 　　分析：本题综合考查圆、函数、数列相关知识,包括圆的切线,不等式放缩,函数单调性,求函数最值等,注意化归,同时关注几何图形及方法应用. 　　解析： 　　（1）圆,圆心,半径 　　∴, 　　∴,即 　　由得 　　∴,即 　　（2）, 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　又, 　　令,∴ 　　令得 　　对给定区间有,∴在单调递减 　　∴,即 　　而当n≥1时2n+1≥3,∴ 　　∴即. 　　反思：本题（1）问充分关注了几何图形特征,利用平面几何知识求解,计算量小,第（2）问综合了数列单调性与函数单调性问题,注意方法的比较. 　　课后练习 　　1．已知函数,M（x1,y1）,N（x2,y2）是图象上的两点,横坐标为的点P满足（O为坐标原点）. 　　（Ⅰ）求证：y1+y2为定值； 　　（Ⅱ）若,其中n∈N*,且n≥2,求； 　　（Ⅲ）已知,其中n∈N*,为数列的前n项和, 　　若对一切n∈N*都成立,试