【高二数学椭圆方程（x^2）/16+（y^2）/4=1（1）以P（2,1）为中点的弦的直线方程（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程（3）过Q（8,2）的直线被椭圆截得的弦中点轨迹】
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问题描述：
高二数学
椭圆方程（x^2）/16+（y^2）/4=1
（1）以P（2,1）为中点的弦的直线方程
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程
（3）过Q（8,2）的直线被椭圆截得的弦中点轨迹
崔祖强回答：
（1）以P（2,1）为中点的弦的直线方程
设斜率是k
y+1=k(x-2)
y=kx-(1+2k)
代入椭圆x²+4y²=16
(4k²+1)x²-8k(1+2k)x+4(1+2k)²-16=0
x1+x2=8k(1+2k)/(4k²+1)
中点则x=(x1+x2)/2=4k(1+2k)/(4k²+1)
横坐标是2
所以4k(1+2k)/(4k²+1)=2
2k+4k²=4k²+1
k=1/2
所以x-2y-4=0
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程
设弦AB的坐标分别是:A(X1,Y1),B(X2,Y2)
中点M(X,Y)
则有:X1+X2=2X,Y1+Y2=2Y.
(Y1-Y2)/(X1-X2)=2.
A,B坐标代入得:
X1^2/16+Y1^2/4=1
X2^2/16+Y2^2/4=1
二式相减得:
(X1+X2)(X1-X2)/16+(Y1+Y2)(Y1-Y2)/4=0
2X/(X1-X2)/16=-2Y(Y1-Y2)/4
X=4Y×(Y1-Y2)/(X1-X2)
所以,X=4Y×2=8Y即y=x/8
（3）过Q（8,2）的直线被椭圆截得的弦中点轨迹
设过Q直线交椭圆A（x1,y1)B(x2,y2)
AB中点(x0,y0)设x0不为1
设过Q直线为y=k(x-8)+2
则y0=k(x0-8)+2.k=(y0-2)/(x0-8)
将AB代入椭圆
x1^2+4y1^2=16
x2^2+4y2^2=16
两式相减得
(x1^2-x2^2)+4(y1^2-y2^2)=0
(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
2x0(x1-x2)+8y0(y1-y2)=0
两边约去2.再除以同(x1-x2)
x0+4y0*k=0
因为k=(y0-2)/(x0-8)
所以x0+4y0×(y0-2)/(x0-8)＝0
化简得
x^2-8x+4y^2-8y=0
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