【已知椭圆x^2/2+y^2/4=1与射线y=根号2x(x>=0)交于点A,过点A作倾斜角互补的两条直线已知椭圆x^2/2+y^2/4=1与射线y=根号2x(x>=0)交于点A,过点A作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为B,】|其它问答-字典翻译问答网

【已知椭圆x^2/2+y^2/4=1与射线y=根号2x(x>=0)交于点A,过点A作倾斜角互补的两条直线已知椭圆x^2/2+y^2/4=1与射线y=根号2x(x>=0)交于点A,过点A作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为B,】

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问题描述：

已知椭圆x^2/2+y^2/4=1与射线y=根号2x(x>=0)交于点A,过点A作倾斜角互补的两条直线已知椭圆x^2/2+y^2/4=1与射线y=根号2x(x>=0)交于点A,过点A作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为B,C.(1)求证:直线BC的斜率为定值.(2)求三角形ABC面积的最大值.详细过程啊~~~谢谢!!!

苏延辉回答：

网友采纳

　　老了不死；这题应该是射线Y=√2x吧。。。。。。。。。不过如果真的是直线Y=√2x也无所谓，分类讨论，方法一样的。。。。（1）以y=√2x（x≥0）代入椭圆方程，解得x=1，故y=√2，所以A（1，√2），设AC斜率为k（k＞0），因为AB的倾角与AC的倾角互补，所以AB的斜率为-k，故AC方程为：y=k(x-1)+√2,AB方程为：y=-k(x-1)+√2,以AC方程y=k(x-1)+√2代入椭圆方程，整理得：(k^2+2)x^2+(2√2k-2k^2)x+k^2-2√2k-2=0,因为A(1,√2)为AC与椭圆交点，故1为上方程的一个根，另一根为x[C]，故x[C]·1=x[C]=(k^2-2√2k-2)/(k^2+2),故y[C]=k(x[C]-1)+√2=(-√2k^2-4k+2√2)/(k^2+2),故C（(k^2-2√2k-2)/(k^2+2),(-√2k^2-4k+2√2)/(k^2+2)），同理可求得B（(k^2+2√2k-2)/(k^2+2),(-√2k^2+4k+2√2)/(k^2+2)），直线BC的斜率k[AB]=(y[C]-y[B])/(x[C]-x[B])=[(-√2k^2-4k+2√2)/(k^2+2)-(-√2k^2+4k+2√2)/(k^2+2)]/[k^2-2√2k-2)/(k^2+2)-(k^2+2√2k-2)/(k^2+2)]=8k/(4√2k)=√2,所以直线BC的斜率为√2。（2）设直线BC与y轴交点为(0,b),又直线BC的斜率为√2，故直线BC方程为y=√2x+b,代入椭圆方程得:4x^2+2√2bx+b^2-4=0,令△＞0，得b^2＜8，x[B]+x[C]=-√2b/2,x[B]·x[C]=(b^2-4)/4,(x[B]-x[C])^2=(x[B]+x[C])^2-4x[B]·x[C]=4-b^2/2,y[B]+y[C]=(√2x[B]+b)+(√2x[C]+b)=√2(x[B]+x[C])+2b=b,y[B]·y[C]=(√2x[B]+b)·(√2x[C]+b)=2x[B]·x[C]+√2b(x[B]+x[C])+b^2=b^2/2-4,(y[B]-y[C])^2=(y[B]+y[C])^2-4y[B]·y[C]=4-b^4,故|AB|=√[(x[B]-x[C])^2+(y[B]-y[C])^2]=√(8-3b^2/2),求得原点O到AB的距离h=|b|/√3,因为AO与BC斜率均为√2，所以AO‖BC，故A到AB的距离也为h，三角形ABC的面积S=|AB|h/2=(√6/12)√(-3b^4+16b^2),[把(-3b^4+16b^2)看作b^2的二次函数]，故当b^2=8/3时，Smax=(√6/12)·8/√3=2√2/3。