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求解一道高数题,求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱(0≤t≤2∏)与横轴所围图形的面积
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问题描述:

求解一道高数题,求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱(0≤t≤2∏)与横轴所围图形的面积

林雁飞回答:
  楼上的思路基本正确,积分时要将y,x转换为用t表示的函数.   我补充一下过程吧:   S=∫|y|dx   =∫a(1-cost)dx(∵y=a(1-cost)≥0,其中a>0)   又∵x=a(t-sint)   ∴dx=a(1-cost)dt   S=∫(0,2π)a²(1-cost)²dt   =a²∫(0,2π)(1-cost)²dt   =a²∫(0,2π)(1+cos²t-2cost)dt   =a²∫(0,2π)[1+(1+cos2t)/2-2cost]dt   =a²∫(0,2π)(3/2+cos2t/2-2cost)dt   =a²[3t/2+sin2t/4-2sint]|(0,2π)   =3πa²
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