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高中数学几何中(急哟)已知圆C是半径为1,圆心为(3,4)的圆,点P在圆上运动,求(AP的平方)+(BP)的平方的最大及最小值,及对应的P的坐标.
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问题描述:

高中数学几何中(急哟)

已知圆C是半径为1,圆心为(3,4)的圆,点P在圆上运动,求(AP的平方)+(BP)的平方的最大及最小值,及对应的P的坐标.

常弘回答:
  A(-1,0)B(1,0)?   是否如此   方法一:用到一个结论:平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和(坐标法,向量法,余弦定理均可证明)   把平行四边形切去一半,剩下三角形和中线,由上面的结论可得,|AP|^2+|BP|^2=(4PO^2+AB^2)/2,其中o为坐标原点.故,要想所求平方和最小,只需PO最小(AB=2为已知)   显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心,O为原点   PO的最小值=|OC|-2=3   故|AP|^2+|BP|^2的最小值=(36+4)/2=20   方法二:设P点坐标为(x,y),则|AP|^2+|BP|^2=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2=2PO^2+2   要想上式最小,只需PO最小,显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心.   PO的最小值=|OC|-2=3   故|AP|^2+|BP|^2的最小值=20
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