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设f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x=1对称,若g(x)=a(x-2)-(x-2)3.(1)求f(x)的解析式;(2)当x=1时,f(x)取得极值,证明:对任意x1,x2∈(-1,1),
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问题描述:

设f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x=1对称,若g(x)=a(x-2)-(x-2)3.

(1)求f(x)的解析式;

(2)当x=1时,f(x)取得极值,证明:对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立;

(3)若f(x)是[1,+∞)上的单调函数,且当x0≥1,f(x0)≥1时,有f[f(x0)]=x0,求证:f(x0)=x0.

傅巍回答:
  (1)∵f(x)与g(x)的图象关于x=1对称,   设点M(x,f(x))是f(x)上的任意一点.则点M关于x=1的对称点(2-x,g(2-x))在函数g(x)的图象上.   ∴f(x)=g(2-x)=-ax+x3.  …(3分)   (2)f′(x)=-a+3x2,又x=1是函数f(x)的一个极值点,   ∴f′(1)=0⇒-a+3=0,得a=3,…(4分)   故f(x)=-3x+x3.f′(x)=-3+3x2=-3(x+1)(x-1),当x∈[-1,1],f′(x)≤0,   ∴f(x)在[-1,1]上是减函数.  …(5分)fmin(x)=f(1)=-2,fmax(x)=f(-1)=2,…(7分)   故对任意x1,x2∈(-1,1),有|f(x1)-f(x2)|<|2-(-2)|=4.  …(8分)   (3)若f(x)在[1,+∞)是减函数,则f′(x)=-a+3x2<0在[1,+∞)上恒成立.   即a≥3x2在[1,+∞)上恒成立,此时a不存在;  …(9分)   若f(x)在[1,+∞)是增函数,即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立.故a≤3.  …(11分)   设f(x0)>x0≥1则f[f(x0)]>f(x0),∴x0>f(x0)矛盾,…(13分)   若x0>f(x0)≥1则f(x0)>f[f(x0)]∴f(x0)>x0矛盾!   故f(x0)=x0.                                           …(15分)
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