【证明存在m,使得1988|(m*3^n-1),其中n=100一楼的方法很不错，但这是数学分析函数一节的题，能不能不用高等代数中常用的方法。】
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问题描述：
证明存在m,使得1988|(m*3^n-1),其中n=100
一楼的方法很不错，但这是数学分析函数一节的题，能不能不用高等代数中常用的方法。
孙棣华回答：
证明一：1988=4*7*71
(1988,3^100)=1,存在整数a、b使得1988a+(3^100)b=1,取m=b,
1988|(m*3^100-1)
其实有无穷多个m使得1988|(m*3^n-1),其中n=100.而绝对值最小的一个是
m=-467,以下给出证明：
欧拉函数：φ(n)=k,k为n前面与n互质的数的个数.
欧拉定理：当(m,n)=1时,m^φ（n）≡1(modn)
证明二：1988=4*7*71
只需证明存在无穷多个m,使m*100^3-1同时被4,7,71整除.
m*3^100-1≡m(4-1)^100-1≡m-1(mod4),①
由欧拉定理3^6≡1(mod7)
m*3^100-1≡m*(3^6)^16*3^4≡4m-1(mod7),②
由欧拉定理3^70≡1(mod71)
m*3^100-1≡m*3^30-1≡m*3^(4*7)*9-1≡m*10^7*9-1
≡m*19*36≡45m-1(mod71),③
在①中令m=4k+1代入②
k≡2(mod7),④
m=4k+1代入③
4*45k≡-44(mod71)
45k≡-11(mod71)
45k≡60(mod71)
3k≡4(mod71),⑤
72=71+1=4*18
4=4*4*18-4*71代入⑤：
k≡25(mod71)⑥
结合④⑥
k≡2(mod7),④
k≡25(mod71),⑥
由中国剩余定理：
M1=71,M2=7
M(-1,1)=1,M(-1,2)=-10,M(-x,y)表示M的上标为-x,下标为y.
k=71*1*2+7*(-10)*25+t1*7*71,(t1为整数)
k=-117+497t,(t也为整数)
m=-467+1988t,(t为整数)
当然有
m-1≡0(mod4)
4m-1≡0(mod7)
45m-1≡0(mod71)
即：m=-467+1988t,(t为整数)为所求.
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