如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路至B点；在市中心正南方解放路上选取A
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问题描述：
如图，我市市区有过市中心O南北走向的解放路，为了解决南徐新城的交通问题，市政府决定修建两条公路，延伸从市中心O出发北偏西60°方向的健康路至B点；在市中心正南方解放路上选取A点，在A、B间修建徐新路．
(1)如果在A点看市中心O和点B视角的正弦值为，求在点B处看市中心O和点A视角的余弦值；
(2)如果ΔAOB区域作为保护区，已知保护区的面积为，A点距市中心的距离为3km，求南徐新路的长度；
(3)如果设计要求市中心O到南徐新路AB段的距离为4km，且南徐新路AB最短，请你确定两点A、B的位置．
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孙迈回答：
【分析】(1)由题意∠A0B=，∠BAO为税角，sin∠BAO=，由于；∠OBA=-∠BAO，故由差角公式求值即可；
(2)如图在三角形AOB中用余弦定理求解即可．
(3)根据题设条件用余弦定理将南徐新路AB的长度表示出来，再结合基本不等式求最值即可．
(1)由题可得：∠AOB=，∠BAO为税角，sin∠BAO=，
故cos∠BAO=，
则cos∠OBA=cos(-∠BAO)==.
(2)∵OA=3，
∴S=OA×OB×sin∠BOA=OB×3×sin=，
∴OB=5.
由余弦定理得：=9+25+15=49，
∴AB=7.
(3)∵BA×4=×OA×OB×sin∠BOA，
∴OA×OB=AB，
∴
=OA2+OB2+OA×OB≥3OA×OB=3×，
∴AB≥8，当OA=OB=8时，等号成立.
答：当AB最短时，A，B距离市中心O为8公里．
【点评】本题考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数模型解决实际问题，三角函数模型是一个非常重要的模型，在实际生活中有着很广泛的运用．
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