如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方
1人问答
问题描述：
如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(Ⅱ)过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若，求证：为定值．
____
刘春颖回答：
【分析】(Ⅰ)直接以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，再根据动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变且点Q在曲线C上，可以求得|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4、曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆进而求出a，b，c得到曲线C的方程；
(Ⅱ)：先设M，N，E点的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(0，y0)，分析出过点B的直线l必与椭圆C相交；再根据，求出点M的坐标代入椭圆方程，同理求出点N的坐标代入椭圆方程，两个方程相结合即可求出结论．
(Ⅰ)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，
∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变、且点Q在曲线C上，
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4，
∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a=2，
∴a=，c=2，b=1、
∴曲线C的方程为+y2=1；
(Ⅱ)：设M，N，E点的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(0，y0)，
又易知B点的坐标为(2，0)、且点B在椭圆C内，
故过点B的直线l必与椭圆C相交.
∵，
∴(x1，y1-y0)=λ1(2-x1，-y1)，
∴，.
将M点坐标代入到椭圆方程中得：，
去分母整理，得λ12+10λ1+5-5y02=0，
同理，由可得：λ22+10λ2+5-5y02=0、
∴λ1，λ2是方程x2+10x+5-5y02=0的两个根，
∴λ1+λ2=-10.
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题以及向量知识的运用．解决第二问的关键在于根据，求出点M的坐标代入椭圆方程，利用其整理后的结论来解题．
政治推荐
政治推荐
最新更新
精品分类
优秀政治推荐
热门政治
邮箱： 