(2006•湖北)设A，B分别为椭圆(a，b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设P为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP，BP分别与
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问题描述：
(2006•湖北)设A，B分别为椭圆(a，b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设P为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内．
(此题不要求在答题卡上画图)____
陈亚文回答：
【分析】(Ⅰ)根据题意可求得a和c的关系，进而根据准线方程求得a和c，则b可得，进而求得椭圆的方程．
n(Ⅱ)根据(Ⅰ)中的椭圆方程可求得A，B的坐标，设出点M的坐标，代入椭圆方程，由P、A、M三点共线可以求得点P的坐标，进而表示出•根据2-x0>0判断出•>0，进而可知∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，判断出点B在以MN为直径的圆内．
n(Ⅰ)依题意得a=2c，=4，
n解得a=2，c=1，从而b=．
n故椭圆的方程为．
n(Ⅱ)由(Ⅰ)得A(-2，0)，B(2，0)．
n设M(x0，y0)．
n∵M点在椭圆上，
n∴y0=(4-x02)(1)
n又点M异于顶点A、B，
n∴-2<x0<2，由P、A、M三点共线可以得
nP(4，)．
n从而=(x0-2，y0)，=(2，)．
n∴•=2x0-4+=(x02-4+3y02)．(2)
n将(1)代入(2)，化简得•=(2-x0)．
n∵2-x0>0，
n∴•>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
n故点B在以MN为直径的圆内．
【点评】本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
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