已知双曲线焦点在x轴上、中心在坐标原点O，左、右焦点分别为、，P为双曲线右支上一点，且，．(Ⅰ)求双曲线的离心率；(Ⅱ)若过且斜率为1的直线l与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，Δ
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问题描述：
已知双曲线焦点在x轴上、中心在坐标原点O，左、右焦点分别为、，P为双曲线右支上一点，且，．
(Ⅰ)求双曲线的离心率；
(Ⅱ)若过且斜率为1的直线l与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，ΔAOB的面积为，求双曲线的方程．____
李润博回答：
【分析】(Ⅰ)设双曲线方程为，，由，∠F1F2P=90°及勾股定理得，由此能求出双曲线的离心率．
(Ⅱ)由，知，双曲线的两渐近线方程为．设l的方程为y=x+c，l与y轴的交点为M(0，c)．若l与y=交于点A，l与y=-交于点B，由，得；由，得，再由=，能求出双曲线方程．
(Ⅰ)设双曲线方程为，，
由，∠F1F2P=90°及勾股定理得，
由双曲线定义得．
则．
(Ⅱ)∵，
∴，双曲线的两渐近线方程为．
由题意，设l的方程为y=x+c，l与y轴的交点为M(0，c)．
若l与y=交于点A，l与y=-交于点B，
由，得；
由，得，
=
=，
∴c=4，
∴a=2，则，
故双曲线方程为．
【点评】本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．
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