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【~~高中数学~~~解析几何一道过直线L:X+Y=2与抛物线C相交于点A和点B,抛物线C的顶点在原点且以X轴为对称轴,点P的坐标为(-2,4)P在L上,若PA、AB、PB的长度成等比数列,试求抛物线C的方程.】
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问题描述:

~~高中数学~~~解析几何一道

过直线L:X+Y=2与抛物线C相交于点A和点B,抛物线C的顶点在原点且以X轴为对称轴,点P的坐标为(-2,4)P在L上,若PA、AB、PB的长度成等比数列,试求抛物线C的方程.

罗晋生回答:
  依题意:设直线与抛物线交于AB点,易知A在上侧(第1象限)B在下侧(第4象限)   我们过P作X轴垂线,再过B点作Y轴垂线在第3象限交于C点过A作PC垂线交PC于D点   因为:PA,AB,PB成等比数列也就是说:   PAAB   ——=——★   ABPB   在刚才的图中,设A为(X1,Y1)设B为(X2,Y2)   由★式有:PA/AB=PD/CD=4-Y1/Y1-Y2   且:AB/PB=Y1-Y2/4-Y2   所以:(Y1-Y2)^2=(4-Y1)(4-Y2)☆   将☆式化简,把(Y1-Y2)^2化为和的形式:   得到:(Y1+Y2)^2=16-4(Y1+Y2)+5Y1Y2▲   接下来设抛物线Y^2=px并与直线X+Y=2联立消去X   得:Y^2+PY-2P=0   由韦达定理:   Y1+Y2=-P   Y1Y2=-2P   代入▲式求出P=2或-8   显然-8不合题意,舍去   所以抛物线为Y^2=2X
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