依题意:设直线与抛物线交于AB点,易知A在上侧(第1象限)B在下侧(第4象限)
我们过P作X轴垂线,再过B点作Y轴垂线在第3象限交于C点过A作PC垂线交PC于D点
因为:PA,AB,PB成等比数列也就是说:
PAAB
——=——★
ABPB
在刚才的图中,设A为(X1,Y1)设B为(X2,Y2)
由★式有:PA/AB=PD/CD=4-Y1/Y1-Y2
且:AB/PB=Y1-Y2/4-Y2
所以:(Y1-Y2)^2=(4-Y1)(4-Y2)☆
将☆式化简,把(Y1-Y2)^2化为和的形式:
得到:(Y1+Y2)^2=16-4(Y1+Y2)+5Y1Y2▲
接下来设抛物线Y^2=px并与直线X+Y=2联立消去X
得:Y^2+PY-2P=0
由韦达定理:
Y1+Y2=-P
Y1Y2=-2P
代入▲式求出P=2或-8
显然-8不合题意,舍去
所以抛物线为Y^2=2X