【求证一道不等式难题a,b,c,d为正实数,a+b+c+d=4求证a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a>=4+（a-b）^2这道题好怪,一下找不到思路能分析下思路再解答吗】
1人问答
问题描述：
求证一道不等式难题
a,b,c,d为正实数,a+b+c+d=4
求证
a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a>=4+（a-b）^2
这道题好怪,一下找不到思路
能分析下思路再解答吗
刘德才回答：
分析下等式的右边,少c和d
那么就用放缩法想办法让c和d在式子中消失
a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a
=(a^2/b)+(b^2/c+c^2/d+d^2/a)
≥(a^2/b)+(b+c+d)^2/(c+d+a)(柯西不等式）
=a^2/b+(4-a)^2/(4-b)(a+b+c+d=4)
=[a^2(4-b)+b(4-a)^2]/[b(4-b)]
=(4a^2+16b-8ab)/[b(4-b)]
=[(16b-4b^2)+(4a^2-8ab+4b^2)]/[b(4-b)]
=4+4(a-b)^2/[b(4-b)]
≥4+(a-b)^2(4/[b(4-b)]≥1等价于(b-2)^2≥0)
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