为什么1是马尔科夫矩阵（随机矩阵）最大的特征值?我可以证明1一定是马尔科夫矩阵的特征值,请问如何证明其他特征值都小于1?
5人问答
问题描述：
为什么1是马尔科夫矩阵（随机矩阵）最大的特征值?
我可以证明1一定是马尔科夫矩阵的特征值,请问如何证明其他特征值都小于1?
李恕海回答：
应该说其它特征值的模都小于等于1.
首先利用Gershgorin圆盘定理容易证明谱半径不超过1,即谱半径就是1.
如果还想证明单位圆周上除了1之外没有别的特征值就需要额外的条件,比如矩阵的所有元素都是正的.
李恕海回答：
比如说，按行来看，定义半径R_i=sum_{i≠j}|A(i,j)|，即第i行所有非对角元的模的和再定义一个以对角元A(i,i)为圆心，R_i为半径的闭圆盘C_i={z:|z-A(i,i)|≤R_i}那么A的所有特征值都落在n个闭圆盘C_i的并集中，这个就是圆盘定理。
沈龙德回答：
对于这个定理，你是以行为单位，一行定义一个圆，则此时对应的矩阵应该是元素非负且每行之和为1->这样说对吗？那个组成的“圆”是指复平面上的一个圆，这样子圆中的每一点都代表着一个复数，如果情况理想，他们将全部落在实轴上，此时该矩阵的特征值全为实数->这样说对吗？and，特征值是一个数，那么“特征值落在封闭圆盘中”是表示该点到圆心的距离就是着特征值->这样说对吗？恳请解答——增值金币献上。
李恕海回答：
你这次问的三个问题完全就是莫名其妙，只有第二句是对的（但是是没意义的废话）。1.对于行和为1的非负矩阵A，|z-A(i,i)|≤R_i=>|z|≤A(i,i)+R_i=1，也就是说每个圆盘C_i都包含于闭单位圆，所以A的谱半径不超过1。再利用1就是特征值的结论得到A的谱半径为1。2.除了Hermite矩阵之外，一般很难保证特征值都在实轴上，根本没那么好的运气，即使是实矩阵一般也有虚特征值。3.如果某个特征值λ落在一个圆盘{z:|z-A(i,i)|≤R_i}上，那么说明|λ-A(i,i)|≤R_i，仅此而已，怎么可能进一步得到λ=|λ-A(i,i)|。
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