已知实数a,b,c满足a＋b＋c=0,abc＞0,且x=a/|a|＋b/|b|＋c/|c|,y=a﹙1/b＋1/c﹚＋b﹙1/c＋1/a﹚＋c﹙1/a＋1/b﹚,求x的20次方－20xy＋y³的值
5人问答
问题描述：
已知实数a,b,c满足a＋b＋c=0,abc＞0,且x=a/|a|＋b/|b|＋c/|c|,y=a﹙1/b＋1/c﹚＋b﹙1/c＋1/a﹚＋
c﹙1/a＋1/b﹚,求x的20次方－20xy＋y³的值
冯月萍回答：
根据a＋b＋c=0,abc＞0得：a、b、c中有两个负数一个正数,
∴X=-1,
∵a＋b＋c=0,∴-a=b+c,
∴a(1/b+1/c)=a(b+c)/bc=-a^2/bc,同理：b(/a+/c)=-b^2/ac,c(1/a+1/b)=-c^2/ab,
∴Y=-(a^3+b^3+c^3)/abc=-［(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc］/abc=3,
∴x的20次方－20xy＋y³
=1+60+27
=88.
冯月萍回答：
a^3+b^3+c^3-3abc=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0∴a^3+b^3+c^3=3abc,Y=-3.∴X^20-20XY+Y^3=(-1)^20-20×(-1)×(-3)+(-3)^3=1-60-27=-86，你是对的。
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