【一道数学题,求详解.证明:抛物线上任意四点组成的四边形不可能是平行四边形.】
3人问答
问题描述：
一道数学题,求详解.
证明:抛物线上任意四点组成的四边形不可能是平行四边形.
马斌良回答：
设抛物线方程为y=2px,抛物线上四点A,B,C,D坐标是（2pt（i）²,2pt（i））,i∈（1,2,3,4）
假设ABCD是平行四边形,
则k（AB）=k（CD）,k（AD）=k（BC）
∵k（AB）=1/（t1加t2）
k（CD）=1/（t3加t4）
k（AD）=1/（t1加t4）
k（BC）=1/（t2加t3）
则有:
1/（t1加t2）=1/（t3加t4）
1/（t2加t3）=1/（t1加t4）
∴t1=t3,t2=t4,即A,C重合,B,D重合,这与假设矛盾,所以ABCD不可是平行四边形.
马斌良回答：
谢谢你的认同，可能你上述方法有些不满，那么还有种解法不知你是否接受（刚刚用手机有些数字不好打，所以用上述方法，但下面这种方法更简单些）。设抛物线方程为y=2px，平行四边形的一组对边AB,CD所在直线分别为y=kx+b1，y=kx+b2（b1≠b2），连理直线方程和抛物线方程，并分别基数按其弦长得：AB=2×√﹙﹙1+k²﹚﹙p²－2k×b1×p﹚﹚／k²,CD＝2×√﹙﹙1+k²﹚﹙p²－2k×b2×p﹚﹚／k²∵b1≠b2∴AB≠CD∴ABCD不可能是平行四边形。不知者如你意吗?
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