微分方程设二阶可微函数f(x)满足方程∫[0到x](t+1)f'(x-t)dt=x^2+e^x-f(x)求f(x)
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问题描述：
微分方程
设二阶可微函数f(x)满足方程∫[0到x](t+1)f'(x-t)dt=x^2+e^x-f(x)
求f(x)
唐向红回答：
∫[0,x](t+1)f'(x-t)dt=x^2+e^x-f(x),设F'(t)=f(t)
x=0时,左边=0,右边=1-f(0),故f(0)=1
左边=-∫[0,x](t+1)d[f(x-t)]
=∫[0,x]f(x-t)dt-(t+1)f(x-t)|(0,x)
=∫[0,x]f(x-t)dt+f(x)-(x+1)
即∫[0,x]f(x-t)dt+f(x)-(x+1)=x^2+e^x-f(x)
∫[0,x]f(x-t)dt=x^2+e^x-2f(x)+(x+1)
左边对x求导得
[∫[0,x+Δx]f(x+Δx-t)dt-∫[0,x]f(x-t)dt]/Δx
=∫[0,x][f(x+Δx-t)-f(x-t)]dt/Δx+∫[x,x+Δx]f(x+Δx-t)dt/Δx
=∫[0,x]f'(x-t)dt+[F(t)/Δx]|(x,x+Δx)
=-f(x-t)|(0,x)+f(x)
=2f(x)-1
右边对x求导得
2x+e^x-2f'(x)+1
2f(x)-1=2x+e^x-2f'(x)+1
整理得
f'(x)+f(x)=x+(e^x)/2+1
解这个微分方程得
f(x)=x+(e^x)/4+Ce^(-x)
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