【已知以F1（-2,0）,F2（2,0）为焦点的椭圆与直线X+√3Y+4＝0有且只有一个交点,则椭圆的长轴长为?】
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问题描述：
已知以F1（-2,0）,F2（2,0）为焦点的椭圆与直线X+√3Y+4＝0有且只有一个交点,则椭圆的长轴长为?
宁伟回答：
∵a^2－b^2＝c^2＝4,∴a^2＝4＋b^2,∴椭圆方程可写成：x^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1.
由直线x＋√3y＋4＝0,得：x＝－4－√3y,代入上述椭圆方程中,得：
（－4－√3y）^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1,
∴b^2（4＋√3y）^2＋（4＋b^2）y^2＝（4＋b^2）b^2,
∴16b^2＋8√3b^2y＋3b^2y^2＋（4＋b^2）y^2－（4＋b^2）b^2＝0,
∴4（1＋b^2）y^2＋8√3b^2y＋（12－b^2）b^2＝0.
∵直线x＋√3y＋4＝0与椭圆x^2/（4＋b^2）＋y^2/b^2＝1只有一个交点,
∴方程4（1＋b^2）y^2＋8√3b^2y＋（12－b^2）b^2＝0的两根相等,∴它的判别式为0.
∴（8√3b^2）^2－4［4（1＋b^2）］［（12－b^2）b^2］＝0,
∴12b^4－（1＋b^2）（12－b^2）b^2＝0.
显然,b＞0,∴12b^2－（1＋b^2）（12－b^2）＝0,
12b^2－12＋b^2－12b^2＋b^4＝0, ∴b^4＋b^2－12＝0, ∴（b^2＋4）（b^2－3）＝0,
∴b^2＝3,进而得：a^2＝4＋b^2＝4＋3＝7, ∴a＝√7, ∴2a＝2√7.
即：满足条件的椭圆长轴长为2√7.
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