【直线L过双曲线X2-Y23=1的左焦点F2（2,0）且与双曲线交于P,Q(1)无论L饶F2如何转动,X轴上总存在定点M(m,0）使MP⊥MQ,求m(2)过PQ做x=12的垂线PA,PB,垂足为AB,λ=PA+QBAB,求λ的取值.】
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问题描述：
直线L过双曲线X2-Y23=1的左焦点F2（2,0）且与双曲线交于P,Q
(1)无论L饶F2如何转动,X轴上总存在定点M(m,0）使MP⊥MQ,求m
(2)过PQ做x=12的垂线PA,PB,垂足为AB,λ=PA+QBAB,求λ的取值.
李旻朔回答：
(1)先考虑直线垂直于x轴,假设存在M（m,0））
那么MF2垂直于PQ,L与双曲线的交点为P（2,3）Q（2,-3）
那么mp的斜率K1=与MQ的斜率之积：3/（2-m）*-3/（2-m）=-1
m=5或-1
再考虑k=0不可能
最后考虑k>0或3
m1=-1
综合以上情况：存在m,且m=-1
（2）先考虑PQ垂直于x轴；
则PA=QB=3/2
AB=6
λ=PA+QBAB=1/2
在考虑k存在时；
由双曲线定义得：|PA|＝|PF2|/2,|QB|＝|QF2|/2
PA+QB=(PF2+QF2)/2=PQ/2
设P点的坐标（x1,y1）
设Q点的坐标（x2,y2）
λ=PQ/2AB=1/2根号下（1+1/k^2）
k^2>3
1/2=＜λ＜根号3/3
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