已知：函数，有唯一的根．（1）求a，b的值；（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求出数列{an}的通项公式．（3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子
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问题描述：
已知：函数，有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求出数列{an}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为．若存在，找出所有符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式，并说明理由；若不存在，也需说明理由．
董丽敏回答：
分析：
（1）由解法一：f（x）=x有唯一根，所以，则可得△=（b-1）2=0，从而可求a，b解法二：=x即x（-1）=0，由方程有唯一的根可得-1=0的根也是x=0，从而可求a，b（2）由，从而可得{}为等差数列，可求（3）结合（2）可设{bn}的首项为，公比为q（）由无穷等比数列的各项和为：，可得；当m=3时，，；当若当m=1，m=2时，显然不符合条件．，m＞4，则由可得与矛盾从而可求．
（1）（1分）解法一：f（x）=x有唯一根，所以，（1分）∴△=（b-1）2=0，（1分）b=1a=1（1分）有b=1a=1得：方程的根为：x=0（1分）经检验x=0是原方程的根（1分）解法二：=xx（-1）=0（1分）x1=0，因为方程有唯一的根（1分）即：-1=0的根也是x=0，（1分）得b=1a=1（1分）经检验x=0是原方程的根（1分）（2）（2分）∴{}为等差数列（1分）∴（2分）所以（1分）（3）设{bn}的首项为，公比为q（）（1分）所以这个无穷等比数列的各项和为：，（1分）；当m=3时，，；当（2分）若当m=1，m=2时，显然不符合条件．m＞4，则∴与矛盾．∴只有两个符合条件的数列．（2分）
点评：
本题主要考查了函数与数列的综合知识的应用，解题的关键熟练掌握函数与数列的性质并能灵活应用．
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