定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f(x)≥M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的下界．已知函数，其定义域为[-2，t](t>-2)，设f(-2)=m，f(t)=n．(1)试|初中政治问答-字典翻译问答网

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f(x)≥M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的下界．已知函数，其定义域为[-2，t](t>-2)，设f(-2)=m，f(t)=n．(1)试

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问题描述：

定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f(x)≥M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的下界．已知函数，其定义域为[-2，t](t>-2)，设f(-2)=m，f(t)=n．

(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[-2，t]上为单调递增函数；

(2)试判断m，n的大小，并说明理由；并判断函数f(x)在定义域上是否为有界函数，请说明理由；

(3)求证：对于任意的t>-2，总存在满足，并确定这样的的个数．____

牟晓明回答：

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　　【分析】(1)对函数进行求导，令导函数大于0和令导函数小于0，求出f(x)的单调区间，进而求出t的取值范围；　　(2)首先求出f(x)在x=1处取极小值e，然后得出f(-2)<e，进而可知f(-2)<f(t)；　　(3)先将x0代入f'(x)求出=x2-x0，然后转化成方程x2-x-(t-1)2=0在(-2，t)上有解的问题，分类讨论确定x0的个数．　　(1)f′(x)=(x2-3x+3)•ex+(2x-3)•ex=x(x-1)•ex．　　由f′(x)>0⇒x>1或x<0；由f′(x)<0⇒0<x<1，　　所以f(x)在(-∞，0]，[1，+∞)上单调递增，在[0，1]上单调递减，　　要使f(x)在[-2，t]上为单调递增函数，则-2<t≤0 　　(2)n>m．　　因为f(x)在(-∞，0]，[1，+∞)上单调递增，在[0，1]上单调递减，　　所以f(x)在x=1处取极小值e．又f(-2)=<e，　　所以f(x)在[-2，+∞)上的最小值为f(-2)，从而当t>-2时，f(-2)<f(t)，　　即m<n．　　由上知，因为f(x)在(-∝，0)上递增，且恒大于0，f(x)在(0，+∞)的最小值为e，　　所以函数f(x)在(-∞，+∞)上是有界函数，M=0 　　(3)因为=x2-x0，所以=(t-1)2，即为x2-x0=(t-1)2．　　令g(x)=x2-x-(t-1)2，从而问题转化为证明方程g(x)=x2-x-(t-1)2=0 　　在(-2，t)上有解，并讨论解的个数．　　因为g(-2)=6-(t-1)2=-(t+2)(t-4)，g(t)=t(t-1)-(t-1)2=(t+2)(t-1)，　　所以①当t>4或-2<t<1时，g(-2)•g(t)<0，所以g(x)=0在(-2，t)上有解，且只有一解；　　②当1<t<4时，g(-2)>0且g(t)>0，但由于g(0)=-(t-1)2<0，　　所以g(x)=0在(-2，t)上有解，且有两解；③当t=1时，g(x)=x2-x=0⇒x=0或x=1，　　所以g(x)=0在(-2，t)上有且只有一解；　　④当t=4时，g(x)=x2-x-6=0⇒x=-2或x=3，　　所以g(x)=0在(-2，4)上有且只有一解　　综上所述，对于任意t>-2，总存在x0∈(-2，t)，满足=(t-1)2，　　且当t≥4或-2<t≤1时，有唯一的x0符合题意；　　当1<t<4时，有两个x0符合题意．　　【点评】本题主要考查情境题的解法，在解决中要通过给出的条件转化为已有的知识和方法去解决，本题主要体现了定义法，恒成立和最值等问题，综合性强，要求学生在学习中要有恒心和毅力．