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若对终边不在坐标轴上的任意角x,不等式sinx+cosx≤m≤tan²x+(1/tan²x)恒成立,则实数m的取值范围
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问题描述:

若对终边不在坐标轴上的任意角x,不等式sinx+cosx≤m≤tan²x+(1/tan²x)恒成立,则实数m的取值范围

田晓钟回答:
  解析:   已知任意角x的终边不在坐标轴上,那么:   sinx+cosx=√2*(sinx*√2/2+cosx*√2/2)=√2*sin(x+π/4)   可知当x+π/4=π/2+2kπ,即x=π/4+2kπ,k∈Z时,sinx+cosx有最大值√2;   而由均值定理:   tan²x+(1/tan²x)≥2√[tan²x*(1/tan²x)]=2(当且仅当tan²x=1/tan²x即tanx=±1时取等号)   所以当tanx=±1时,tan²x+(1/tan²x)有最小值2   要使不等式sinx+cosx≤m≤tan²x+(1/tan²x)恒成立,则须使:   √2≤m≤2   这就是所求实数m的取值范围.
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