已知函数，且a<1．(1)当x∈[1，+∞)时，判断f(x)的单调性并证明；(2)在(1)的条件下，若m满足f(3m)>f(5-2m)，试确定m的取值范围；(3)设函数，k为常数．若关于x的方程g(x)=0在(0，2)上有两个解
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问题描述：
已知函数，且a<1．
(1)当x∈[1，+∞)时，判断f(x)的单调性并证明；
(2)在(1)的条件下，若m满足f(3m)>f(5-2m)，试确定m的取值范围；
(3)设函数，k为常数．若关于x的方程g(x)=0在(0，2)上有两个解，，求k的取值范围，并比较与4的大小．____
潘玲回答：
【分析】(1)根据函数单调性的定义，首先应在所给区间上任设两个数并规定大小，然后通过作差法分析获得两数对应函数值之间的大小关系即可；
n(2)首先要将抽象不等式结合函数的奇偶性进行转化，然后根据函数的单调性找到自变量之间的不等关系，注意定义域优先原则．
n(3)首先将函数进行化简，或为分段函数，通过研究两段函数的单调性即可获得两根的分布情况，由根的条件以及根的分布即可获得k的取值范围．最后可以通过消参数的办法：通过两个根对应的方程分别将k用两根表示出；或解方程的思想：直接将两根用变量k表出解答问题．
(1)由题得：f(x)=x++a，设1≤x1<x2，
n则
n=(x1-x2)，
n∵1≤x1<x2，
n∴x1-x2<0，x1x2>1，
n又a<1，得x1x2-a>0
n∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x)在[1，+∞)上为增函数．
n(2)由(1)得：f(x)在[1，+∞)上为增函数，
n要满足f(5-2m)<f(3m)
n只要1≤5-2m<3m，
n∴m的取值范围为：1<m≤2．
n(3)g(x)=x•f(x)+|x2-1|+(k-a)x-a=x2+kx+|x2-1|
ng(x)=0在(0，2)上有两个解x1，x2，不妨设0<x1<x2<2，
，
n所以g(x)在(0，1]是单调函数，
n故g(x)=0在(0，1]上至多一个解，
n若1<x1<x2<2，则x1x2=-<0，
n故不符题意，
n因此0<x1≤1<x2<2．
n由g(x1)=0得k=-，
n所以k≤-1；
n由g(x2)=0得k=，
n所以-<k<-1；
n故当-<k<-1时，方程g(x)=0在(0，2)上有两个解．
n方法一：因为0<x1≤1<x2<2，
n所以k=-，2x22+kx2-1=0
n消去k得2x1x22-x1x2=0
n即，
n因为x2<2，
n所以<4．
n方法二：由g(x1)=0得x1=-
n由2x2+kx-1=0得x=；
n因为x2∈(1，2)，所以x2=．
n则=-k+=．
n而y==在上是减函数，
n则＜=4．
n因此，<4．
【点评】本题考查的是函数单调性的综合应用问题．在解答的过程当中充分体现了函数的性质、抽象不等式的解答以及函数与方程的思想和问题转化的能力．
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