高一数学关于不等式的证明已知x²=a²+b²,y²=c²+d²,且所有字母均为正,求证：xy≥ac+bd
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问题描述：
高一数学关于不等式的证明
已知x²=a²+b²,y²=c²+d²,且所有字母均为正,求证：xy≥ac+bd
刘载文回答：
证：
x^2=a^2+b^2y^2=c^2+d^2
x^2y^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2
=(a^2c^2+b^2d^2+2abcd)+(a^2d^2+b^2c^2-2abcd)
=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
平方项恒非负,(ad-bc)^2≥0
因此
x^2y^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2≥(ac+bd)^2+0=(ac+bd)^2
又所有字母均为正
xy≥ac+bd
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