一道关于高中数学的等比数列的题数列{a的第n项}的前n项和计为Sn,已知a1=1,a的第(n+1)项=Sn*(n+2)/n求证：(1)数列{Sn/n}是等比数列(2)前n+1项之和,即S(n+1)=4*(a的第n项)
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问题描述：
一道关于高中数学的等比数列的题
数列{a的第n项}的前n项和计为Sn,已知a1=1,a的第(n+1)项=Sn*(n+2)/n
求证：(1)数列{Sn/n}是等比数列
(2)前n+1项之和,即S(n+1)=4*(a的第n项)
梁德坚回答：
因为A(n+1)=(n+2)/n*Sn
所以Sn=n*A(n+1)/(n+2)
S(n-1)=(n-1)*An/(n+1)
所以An=Sn-S(n-1)=n/(n+2)*A(n+1)-(n-1)/(n+1)*An
所以2n/(n+1)*An=n/(n+2)*A(n+1)
即A(n+1)/An=(2n+4)/(n+1)
所以(Sn/n)/(S(n-1)/(n-1))=(A(n+1)/(n+2))/(An/(n+1))
=A(n+1)/An*(n+1)/(n+2)
=(2n+4)/(n+1)*(n+1)/(n+2)=2
所以Sn/n是以2为公比的等比数列
(2)
因为Sn/n是以2为公比的等比数列,首项为S1/1=S1=A1=1
所以Sn/n的通项公式是2^(n-1)
所以Sn=n*2^(n-1)
S(n-1)=(n-1)*2^(n-2)
所以An=Sn-S(n-1)=n*2^(n-1)-(n-1)*2^(n-2)
=n*2^(n-1)-n*2^(n-2)+2^(n-2)
=n*2^(n-2)+2^(n-2)
=(n+1)*2^(n-2)
当n=1时也满足,所以通项公式为An=(n+1)*2^(n-2)
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