一道高二数学题已知F1,F2是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点,P（-√2,1）在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足：向量PM+向量F2M=0(1)求椭圆C的方程（2）椭圆C上任意一动点N(x0,y0)关于直线y=2x
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问题描述：
一道高二数学题
已知F1,F2是椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点,P（-√2,1）在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足：向量PM+向量F2M=0
(1)求椭圆C的方程
（2）椭圆C上任意一动点N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为M1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.
给个详细点的解答,谢了.
柴国庆回答：
(1)∵向量PM+向量F2M=0
∴M是线段PF2的中点,
∵M在y轴上,∴-√2+c=0,即c=√2,
∴b²=a²-c²=a²-2,椭圆方程为x²/a²+y²/(a²-2)=1,
将P(-√2,1)代入方程得2/a²+1/(a²-2)=1,
解得a²=1(舍去)或a²=4,
∴椭圆C的方程是x²/4+y²/2=1.
(2)∵点N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为M1(x1,y1),
∴(y1-y0)/(x1-x0)=-1/2且(y1+y0)/2=2[(x1+x0)/2],
即y1-y0=-1/2(x1-x0)①,y1+y0=2(x1+x0)②,
①+②得2y1=(3/2)x1+(5/2)x0,即3x1-4y1=-5x0,
∵x0∈[-2,2],∴3x1-4y1∈[-10,10].
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