在直角三角形ABC中,角ABC=90°,O是AB上的一点,以O为圆心,OB为半径作圆,交AC于E、F,交AB于D,若E是弧DF的中点,且AE：EF=3：1,FC=4,求BC的长.希望给出具体过程，
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问题描述：
在直角三角形ABC中,角ABC=90°,O是AB上的一点,以O为圆心,OB为半径作圆,交AC于E、F,交AB于D,若E是弧DF的中点,
且AE：EF=3：1,FC=4,求BC的长.
希望给出具体过程，
顾照鹏回答：
这道题在初中可是超难,在高中还是可以做的.
连BF,OE,DF,DE,过O作OG⊥EF于G.
BD为⊙O的直径,则BF⊥DF；又E为DE弧的中点,则OE⊥DF（且平分DF）
故OE//BF,则AO：OB=AE：EF=3：1.设OB=r,EF=2x.则
AD=2r,AB=4r,AE=6x,AF=8x,EG=GF=x.
由（切）割线定理可得AD×AB=AE×AG（证△ADE∽△AFB即得）,
故r^2=6x^2……(1).而RT△AGO∽RT△ABC,故AG：AO=AB：AC
又AG=7x,AO=3r,AB=4r,AC=8x+4.可得3r^2=14x^2+7x……（2）
把（1）代入（2）解得x=7/4.所以r=7√6/4.
则AB=7√6,AC=8x+4=18,所以BC=√30.
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