【高中数学设等差数列an的前n项和Sn,且a5+a13=34,S3=9,设数列bn的通项公式为bn=an/(an+t),问:是否存在整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t与m的值：若无,请解释说明.】
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问题描述：
高中数学
设等差数列an的前n项和Sn,且a5+a13=34,S3=9,设数列bn的通项公式为bn=an/(an+t),问:是否存在整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t与m的值：若无,请解释说明.
沈挺回答：
由于an是等差数列,因此an=a1+(n-1)d,其中d为公差.于是a5+a13=2a1+16d,S3=a1+a2+a3=3a1+3d.解方程组2a1+16d=34,3a1+3d=9,得a1=1,d=2.因此an=1+2(n-1)=2n-1,于是bn=(2n-1)/(2n-1+t).
若要b1,b2,bm成等差数列,则要有b1+bm=2b2.也就是要使得1/(1+t)+(2m-1)/(2m-1+t)=6/(3+t).根据题意,m是大于等于3的正整数,t是整数.此外还要有一个限制就是an+t不等于0,也就是2n-1+t不能等于0,解出t不能为负奇数.
根据这些解出若t=0,则m可以在题设范围内任取,即m大于等于3；若t不为0,则可化简得出t=(m+1)/(m-4)=4/(m-3)+1,此时有三组解,分别是t=2,m=7；t=3,m=5；t=5,m=4.
综上
t=0时,m≥3；
t=2时,m=7；
t=3时,m=5；
t=5时,m=4.
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