已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x.设有且仅有一个实数x1,使得f(x1)=x1,求函数f(x)的解析表达式.
1人问答
问题描述：
已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x.
设有且仅有一个实数x1,使得f(x1)=x1,求函数f(x)的解析表达式.
恩荔回答：
因为定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x
而且有且仅有一个实数x1,使得f(x1)=x1
所以对于任意的f(x)有f(x)－x^2＋x＝x1
可得f(x1)-x1^2+x1=x1
因为f(x1)=x1
得出x1-x1^2=0
算得x1=0或x1=1
设x1=0,得
f(x)－x^2＋x＝0
f(x)=x^2－x
x1=x1^2-x1产生两个解
x1=0不符合题目意思,舍去
设x1=1,得
f(x)－x^2＋x＝1
f(x)＝x^2－x＋1
x1=x1^2-x1+1
x1只有唯一解x1=1
所以,
函数f(x)的解析表达式为f(x)＝x^2－x＋1(x为实数)
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