高等数学第二类换元法1.∫1/[x√(x^2-1)]dxarecos1/|x|+C2.∫√(x^2-1)/xdx√(x^2-1)+arccos(1/x)+C,当x1我被课本搞到乱七八糟我按照课本上所写的方法分情况x>ax
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问题描述：
高等数学第二类换元法
1.∫1/[x√(x^2-1)]dx
arecos1/|x|+C
2.∫√(x^2-1)/xdx
√(x^2-1)+arccos(1/x)+C,当x1
我被课本搞到乱七八糟
我按照课本上所写的方法分情况x>ax
李劭回答：
1、当x>1时,令x=secu,则(1/x)=cosu,则√(x^2-1)=tanu,dx=secutanudu
原式=∫1/[secu*tanu]*secutanudu=∫1du=u+C=arccos(1/x)+C
当x1,dx=-dt
∫1/[x√(x^2-1)]dx=∫1/[(-t)√(t^2-1)]d(-t)=∫1/[t√(t^2-1)]dt,与刚才那个完全一样,直接用刚才的结果,得arccos(1/t)+C=arccos(-1/x)+C,
两个结合就得到：arccos1/|x|+C
2、类似,当x>1时,令x=secu,则(1/x)=cosu,则√(x^2-1)=tanu,dx=secutanudu
原式=∫(tanu/secu)*secutanudu=∫(tanuj)^2du=∫[(secuj)^2-1]du=tanu-u+C
=√(x^2-1)-arccos(1/x)+C
当x1,dx=-dt
∫√(x^2-1)/xdx=∫√(t^2-1)/(-t)d(-t)=∫√(t^2-1)/tdt
与刚才完全一样,直接用刚才结果,得：√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)+arccos(1/x)+C
这道题你答案写错了.
万筱宁回答：
嗯嗯,答案最后是写错了有个问题啊最后那个√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)+arccos(1/x)+Ct=-x則1/t=-1/xarccos(1/t)=arccos(-1/x)=-arccos(1/x)???为什么负号会变正号
李劭回答：
我写错了，应该是，√(t^2-1)-arccos(1/t)+C=√(x^2-1)-arccos(-1/x)+C综上，最后结果为√(x^2-1)-arccos(1/|x|)+C这个负号不能提出来的，哈哈。
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