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【已知函数f(x)=lnx,g(x)=ex.(I)若函数φ(x)=f(x)-,求函数φ(x)的单调区间;(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x0,f(x0))处的切线】
1人问答
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问题描述:

已知函数f(x)=lnx,g(x)=ex.
(I)若函数φ(x)=f(x)-,求函数φ(x)的单调区间;
(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x0,f(x0))处的切线.证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.

樊其瑾回答:
  (1)增区间为;(2)见解析.   本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。(Ⅰ),.            2分∵且,∴∴函数的单调递增区间为.  4分(Ⅱ)∵ ,∴,∴切线的方程为,即,  ①            6分设直线与曲线相切于点,∵,∴,∴.     8分∴直线也为,即, ②                9分由①②得,∴.         11分下证:在区间(1,+)上存在且唯一.由(Ⅰ)可知,在区间上递增.又,,         13分结合零点存在性定理,说明方程必在区间上有唯一的根,这个根就是所求的唯一.                  故结论成立.14分      
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