（2013•河北区一模）在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．（Ⅰ）求证：{an-n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设数列{an}的前n项和Sn，求Sn+1-Sn的最大值．
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问题描述：
（2013•河北区一模）在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（Ⅰ）求证：{an-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{an}的前n项和Sn，求Sn+1-Sn的最大值．
吕亮回答：
（Ⅰ）证明：由题设得an+1=4an-3n+1，则an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*．
又a1-1=1，所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an-n=4n-1，于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=4n-1+n，
所以数列{an}的前n项和Sn=1−4
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