设数列{an}的前n项和为Sn,若对于所有的自然数n,都有Sn=n(a1+an)/2,证明{an}是等差数列．当n≥2时,由题设,Sn-1=(n-1)(a1+an-1)/2,Sn=n(a1+an)/2．所以an=Sn-Sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2
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问题描述：
设数列{an}的前n项和为Sn,若对于所有的自然数n,都有Sn=n(a1+an)/2,证明{an}是等差数列．
当n≥2时,由题设,Sn-1=
(n-1)(a1+an-1)/
2
,Sn=
n(a1+an)/
2
．
所以an=Sn-Sn-1=
n(a1+an)/
2
-
(n-1)(a1+an-1)/
2
同理有
an+1=
(n+1)(a1+an-1)/
2
-
n(a1+an)/
2
．
从而
an+1-an=
(n+1)(a1+an-1)/
2
-n（a1+an）+
(n-1)(a1+an-1)/
2
,
整理得an+1-an=an-an-1═a2-a1
从而{an}是等差数列．
我只是想弄清“整理得”的这一步是怎样得来的,明明前面在算an+1-an,怎么一下子就跳到整理得,难道不应该算出an-an-1吗,我算出之后发现并不相等呀?非常感谢回答急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急,回答得越详细越好,我一定会采纳
孔照宇回答：
Sn=n(a1+an)/2
n=3
a1+a2+a3=3(a1+a3)/2
a1+a3=2a2
2Sn=n(a1+an)
forn>=2
2an=2[Sn-S(n-1)]
=n(a1+an)-(n-1)[a1+a(n-1)]
(n-2)an=(n-1)a(n-1)-a1
an/(n-1)-a(n-1)/(n-2)=-a1/(n-1)(n-2)
=a1[1/(n-1)-1/(n-2)]
an/(n-1)-a2/1=a1[1/(n-1)-1]
an/(n-1)=a1[1/(n-1)-1]+a2
an=a1+(a2-a1)(n-1)
=>{an}是等差数列
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