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(2006•北京)已知AB是半圆O的直径,点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合),以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D,∠DCB的平分线与半圆M交于点E.(1)求证:CD是半圆O的切线(图1);(2
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问题描述:

(2006•北京)已知AB是半圆O的直径,点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合),以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D,∠DCB的平分线与半圆M交于点E.

(1)求证:CD是半圆O的切线(图1);

(2)作EF⊥AB于点F(图2),猜想EF与已有的哪条线段的一半相等,并加以证明;

(3)在上述条件下,过点E作CB的平行线交CD于点N,当NA与半圆O相切时(图3),求∠EOC的正切值.

李欣慧回答:
  (1)连接OD,由直径对的圆周角是直角知∠CDO=90°,再切线的判定方法即可判定CD是半圆O的切线;   (2)连接OD、OE,延长OE交CD于点K,作EG⊥CD于点G,则根据垂直于同一直线的两条直线平行知,EG∥OD.CE平分∠DCB,由角的平分线上的点到角的两边的距离相等知EG=EF,由直径对的圆周角是直角知∠CEO=∠CEK=90°,易得△COE≌△CKE,有OE=KE,即点E是OK的中点,所以EG是△ODK的OD边对的中位线,则EG是OD的长的一半,从而得证题设;   (3)、如图,延长OE交CD于点K,设OF=x,EF=y,由2中知,OA=OK=2OE=2y,易得四边形AFEN是矩形,有NE=AF=OA-OF=2y-x.由于NE∥OC,点E是OK的中点,则EN是△OCK的OC对的中位线,有N是CK的中点.所以CO=2NE=2(2y-x),进一步得到CF=CO-OF=4y-3x,由Rt△CEF∽Rt△EOF则有EF2=CF•OF,由此得到关于x,y的方程,变形即可求出或进而确定tan∠EOC的值.   (1)证明:如图,连接OD,   则OD为半圆O的半径   ∵OC为半圆M的直径   ∴∠CDO=90°   ∴CD是半圆O的切线;   (2)【解析】   猜想:EF=OA.   证明:如图2,   连接OD、OE,延长OE交CD于点K,作EG⊥CD于点G,则EG∥OD,   ∵CE平分∠DCB,   ∴∠OCE=∠KCE.   ∵EF⊥AB,   ∴EG=EF.   ∵OC是半圆M的直径,E为半圆M上的一点,   ∴∠CEO=∠CEK=90°.   ∵CE为公共边,   ∴△COE≌△CKE.   ∴OE=KE.   ∵EG∥OD,   ∴DG=GK.   ∴EF=EG=OD=OA.   (3)【解析】   如图3,   延长OE交CD于点K,   设OF=x,EF=y,则OA=2y,   ∵NE∥CB,EF⊥CB,NA切半圆O于点A,   ∴四边形AFEN是矩形,   ∴NE=AF=OA-OF=2y-x,   同(2)证法一,得E是OK的中点,   ∴N是CK的中点,   ∴CO=2NE=2(2y-x),   ∴CF=CO-OF=4y-3x,   ∵EF⊥AB,CE⊥EO,   ∴Rt△CEF∽Rt△EOF,   ∴EF2=CF•OF,即y2=x(4y-3x),   解得或,   当=3时,tan∠EOC===3,   当=1时,点C与点A重合,不符合题意,故舍去,   ∴tan∠EOC=3.
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《(2006•北京)已知AB是半圆O的直径,点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合),以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D,∠DCB的平分线与半圆M交于点E.(1)求证:CD是半圆O的切线(图1);(2|小学数学问答-字典翻译问答网》
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