（2006•北京）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E．（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；（2|小学数学问答-字典翻译问答网

（2006•北京）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E．（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；（2

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问题描述：

（2006•北京）已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E．

（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；

（2）作EF⊥AB于点F（图2），猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；

（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（图3），求∠EOC的正切值．

李欣慧回答：

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　　（1）连接OD，由直径对的圆周角是直角知∠CDO=90°，再切线的判定方法即可判定CD是半圆O的切线；　　（2）连接OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则根据垂直于同一直线的两条直线平行知，EG∥OD．CE平分∠DCB，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等知EG=EF，由直径对的圆周角是直角知∠CEO=∠CEK=90°，易得△COE≌△CKE，有OE=KE，即点E是OK的中点，所以EG是△ODK的OD边对的中位线，则EG是OD的长的一半，从而得证题设；　　（3）、如图，延长OE交CD于点K，设OF=x，EF=y，由2中知，OA=OK=2OE=2y，易得四边形AFEN是矩形，有NE=AF=OA-OF=2y-x．由于NE∥OC，点E是OK的中点，则EN是△OCK的OC对的中位线，有N是CK的中点．所以CO=2NE=2（2y-x），进一步得到CF=CO-OF=4y-3x，由Rt△CEF∽Rt△EOF则有EF2=CF•OF，由此得到关于x，y的方程，变形即可求出或进而确定tan∠EOC的值．　　（1）证明：如图，连接OD，　　则OD为半圆O的半径　　∵OC为半圆M的直径　　∴∠CDO=90° 　　∴CD是半圆O的切线；　　（2）【解析】　　猜想：EF=OA．　　证明：如图2，　　连接OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则EG∥OD，　　∵CE平分∠DCB，　　∴∠OCE=∠KCE．　　∵EF⊥AB，　　∴EG=EF．　　∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上的一点，　　∴∠CEO=∠CEK=90°．　　∵CE为公共边，　　∴△COE≌△CKE．　　∴OE=KE．　　∵EG∥OD，　　∴DG=GK．　　∴EF=EG=OD=OA．　　（3）【解析】　　如图3，　　延长OE交CD于点K，　　设OF=x，EF=y，则OA=2y，　　∵NE∥CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A，　　∴四边形AFEN是矩形，　　∴NE=AF=OA-OF=2y-x，　　同（2）证法一，得E是OK的中点，　　∴N是CK的中点，　　∴CO=2NE=2（2y-x），　　∴CF=CO-OF=4y-3x，　　∵EF⊥AB，CE⊥EO，　　∴Rt△CEF∽Rt△EOF，　　∴EF2=CF•OF，即y2=x（4y-3x），　　解得或，　　当=3时，tan∠EOC===3，　　当=1时，点C与点A重合，不符合题意，故舍去，　　∴tan∠EOC=3．