【如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，，E，分别是棱AD，的中点．(1)设F是棱AB的中点，证明：直线∥平面；(2)证明：平面AC⊥平面．____】
1人问答
问题描述：
如图，在直四棱柱中，
底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，
，E，分别是棱AD，的中点．
(1)设F是棱AB的中点，证明：直线∥平面；
(2)证明：平面AC⊥平面．____
雷鹏回答：
【分析】(1)取A1B1的中点为F1，连接FF1，C1F1，要证明直线EE1∥平面FCC1，只需证明EE1∥F1C，就证明了EE1∥平面FCC1内的直线，即可推得结论；
n(2)要证明平面D1AC⊥平面BB1C1C，只需证明AC⊥BC，AC⊥CC1即可．
证明：(1)方法一：取A1B1的中点为F1，
n连接FF1，C1F1，
n由于FF1∥BB1∥CC1，
n所以F1∈平面FCC1，
n因此平面FCC1即为平面C1CFF1．
n连接A1D，F1C，由于A1F1∥D1C1∥CD，且A1F1=D1C1=CD，
n所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C．
n又EE1∥A1D，得EE1∥F1C，而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，
n故EE1∥平面FCC1．
n方法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，
n所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，
n所以AD∥FC．
n又CC1∥DD1，FC∩CC1=C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，
n所以平面ADD1A1∥平面FCC1，
n又EE1⊂平面ADD1A1，
n所以EE1∥平面FCC1．
n(2)连接AC，取F为AB的中点，在ΔFBC中，FC=BC=FB=2，
n又F为AB的中点，
n所以AF=FC=FB=2，
n因此∠ACB=90°，即AC⊥BC．
n又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C，
n所以AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，
n故平面D1AC⊥平面BB1C1C．
【点评】本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
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