【设n维复矩阵A是正规矩阵（即A^{*}乘A=A乘A^{*},A^{*}是A的共轭转置）,证明全空间=Ker(A)直和Im(A).大学高等代数，】
2人问答
问题描述：
设n维复矩阵A是正规矩阵（即A^{*}乘A=A乘A^{*},A^{*}是A的共轭转置）,证明全空间=Ker(A)直和Im(A).
大学高等代数，
杜诗超回答：
谱分解定理是正规矩阵的基本性质，这种方法需要优先掌握。
当然，不做对角化肯定也是可行的。
首先看到Ax=0A^*Ax=0x^*A^*Ax=0x^*AA^*x=0AA^*x=0A*x=0，这样就得到Ker(A)=Ker(A^*)=Ker(AA^*)=Ker(A^*A),再考察空间的维数可以知道Im(A)=Im(AA^*),Im(A^*)=Im(A^*A).
然后证明C^n=Ker(A)+Im(A):任取C^n中的向量x，A^*x∈Im(A^*)=Im(A^*A)，所以存在y使得A^*x=A^*Ay，再令z=x-Ay，那么A^*z=0=>Az=0，这样就得到了拆分x=Ay+z，Ay∈Im(A)，z∈Ker(A).
要进一步证明直和就容易了，比如说验证Ker(A)和Im(A)的交集是{0}，或者用维数dimKer(A)+dimIm(A)=n。
八字精批
八字合婚
八字起名
八字财运
2024运势
测终身运
姓名详批
结婚吉日
数学推荐
数学推荐
最新更新
精品分类
优秀数学推荐
热门数学
邮箱： 
