设f'(x)在[a,b]上连续,证明:lim(λ→+∞)∫(a,b)f(x)cos(λx)dx=0
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问题描述：
设f'(x)在[a,b]上连续,证明:lim(λ→+∞)∫(a,b)f(x)cos(λx)dx=0
孙九爱回答：
利用分部积分
∫(a,b)f(x)cos(λx)dx=1/λ*∫(a,b)f(x)dsin(λx)
=1/λ*{[f(x)sin(λx)]|(a,b)-∫(a,b)f'(x)sin(λx)dx}
因f'(x)在[a,b]上连续
0≤|∫(a,b)f'(x)sin(λx)dx|≤∫(a,b)|f'(x)|dx=A（与λ无关的常数）
同理可以分析[f(x)sin(λx)]|(a,b)也是一个有界量
所以lim(λ→+∞)∫(a,b)f(x)cos(λx)dx=lim(λ→+∞)1/λ*{[f(x)sin(λx)]|(a,b)-∫(a,b)f'(x)sin(λx)dx]}=0
理由是无穷小量乘以有界量
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