1的n次方根叫做n次单位根,证明（1）两个n次单位根的积仍是一个n次单位根（2）n次单位根的倒数仍是一个n次单位根（3）复数z的所有n次方根都可以由z的某一个n次方根乘以所有的n次单位根得
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问题描述：
1的n次方根叫做n次单位根,证明（1）两个n次单位根的积仍是一个n次单位根
（2）n次单位根的倒数仍是一个n次单位根
（3）复数z的所有n次方根都可以由z的某一个n次方根乘以所有的n次单位根得到
陈慧岩回答：
清楚定义的话,这些结论可以直接验证.
由定义,复数a是一个n次单位根当且仅当a^n=1.
(1)若a,b都是n次单位根,则a^n=b^n=1.
于是(ab)^n=a^n·b^n=1,即ab也是n次单位根.
(2)若a是n次单位根,则a^n=1.
显然a≠0,1/a有定义,且(1/a)^n=1/a^n=1,即1/a也是n次单位根.
(3)首先若z=0,则z的n次方根只有0,命题显然成立.以下只考虑z≠0的情况.
若a是z的一个n次方根,则a^n=z.可知a≠0.
对z的任意一个n次方根b,有b^n=z.于是(b/a)^n=b^n/a^n=1.
即b/a是一个n次单位根,故b=a·(b/a)可写为a与某个n次单位根的乘积.
反之,若c是一个n次单位根,有c^n=1.
于是(ac)^n=a^n·c^n=z,即ac必为z的n次方根.
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