△ABC中,三边长a、b、c满足a+b=10,且（a+b+c)(a+b-c)=3ab.求此三角形的面积的最大值和周长的最小值.
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问题描述：
△ABC中,三边长a、b、c满足a+b=10,且（a+b+c)(a+b-c)=3ab.求此三角形的面积的最大值和周长的最小值.
韩保忠回答：
此三角形的面积的最大值是(25√3)/4,
周长的最小值是15.
∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab
∴(a+b)²-c²=3ab,
a²+2ab+b²-c²=3ab,
∴a²+b²-c²=ab,c²=100-3ab,
由余弦定理：
CosC=(a²+b²-c²)/2ab=ab/2ab=1/2,
∴∠C=60°,
∴面积S=ab*SinC/2=(ab√3)/4,
由基本不等式：a＋b≥2√ab,a+b=10,
∴10≥2√ab,
25≥ab,
当a=b时,有最大值ab=25,
∴面积的最大值是：
S=(25√3)/4.
∵c²=100-3ab,
且当a=b时,有最大值ab=25,
∴当a=b时,有最小值c²=100-3*25=25,
∴有最小值c=5,
∴周长的最小值=a+b+c=10+5=15.
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