高一数学集合问题设M=｛a+b√2/|a²-2b²|=1,a,b∈Z｝,已知x,y∈M,设M=｛a+b√2/|a²-2b²|=1,a,b∈Z｝,已知x,y∈M,求证①xy∈M②1/x∈M在求证①时有这样一步设x=a+√2b,y=c+√2d丨（ac
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问题描述：
高一数学集合问题设M=｛a+b√2/|a²-2b²|=1,a,b∈Z｝,已知x,y∈M,
设M=｛a+b√2/|a²-2b²|=1,a,b∈Z｝,已知x,y∈M,
求证
①xy∈M
②1/x∈M
在求证①时有这样一步
设x=a+√2b,y=c+√2d
丨（ac+2bd）^2-2（ad+bc）^2丨=丨（a^2-2b^2）（c^2-2d^2）丨=1
请问上面这个等式的推导是通过什么公式得出的还是根据题目中的特殊条件凑出的?
谢谢!
陆霄晔回答：
根据题目中的特殊条件凑出的
由题目条件a+b√2/|a²-2b²|=1化简得出,a-b√2=1
所以若设x=a+√2b,y=c+√2d
那么：a-√2b=1;c-√2d=1
就有：x*（a-b√2）=x；y*（c-d√2）=y
而：x*y=ac+2bd+√2ad+√2bc=(ac+2bd+√2ad+√2bc)*(a-√2b)*(c-√2d)=（a^2-2b^2）（c^2-2d^2）=（ac+2bd）^2-2（ad+bc）^2=1
所以x*y∈M
同理：1/x=1/(a+√2b)=a-√2b=1
所以1/x∈M
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