【两个矩形对于一个矩形ABCD,是否存在另一个周长和面积都是矩形ABCD的2倍的矩形?若存在,请证明,若不存在,请说明理由!】
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问题描述：
两个矩形
对于一个矩形ABCD,是否存在另一个周长和面积都是矩形ABCD的2倍的矩形?若存在,请证明,若不存在,请说明理由!
高丽金回答：
任意给定一个矩形,是否存在一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?这道看似简单的数学简答题,谁会想到,里面竟包含着丰富的数学知识!
下面,就让我们一起来探究这道数学难题.
矩形的形状多种多样,我们到底怎样才能探究出呢?先研究一个具体的吧：
如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢?
如果已知矩形的长和宽分别为2和1,那么周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积分别为12和4.可以先固定所求矩形的周长：周长为12的矩形很多,它们的长和宽可以是5和1,4和2,3和3,也可以是11/2和1/2……那么,其中是否有面积为4的呢?
现在,可以运用我们所学的二元一次方程知识,设矩形长为x,那么它的宽为6-x,则它的面积是x（6-x）.
通过上面分析,我们就可得到一个一元二次方程,就是：x（6-x）=4
解出这个x的解,x1=6.74(舍去)x2=0.76
从而得出的结论就是当矩形的长为0.76时,此矩形面积为4,即面积和周长为已知矩形的2倍.
同样的,我们也可以固定所求矩形的面积：面积为4的矩形有很多,他们的长和宽可以是4和1,2和2,1/2和8,……其中是否有周长为12的呢?
那么当已知矩形的长和宽分别为3和1时,是否还有相同的结论呢?已知矩形长和宽分别是4和1,5和1,……n和1呢?
更一般的,当已知矩形的长和宽分别为n和m时,是否有相同的结论呢?
n和m,这两个日常生活中最常见的,最一般的数,带给我们的答案是怎样的呢,让我们拭目以待~~
首先,设新矩形长为x,则面积为2（m+n）-x.则我们可列出一元二次方程x[2（m+n）-x]=2mn
解这个方程的mn=mn.
由此可以说明,任意给定一个矩形,存在一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
大家看,就这么一到数学题,运用到了一元二次方程,几何等多项数学内容,可以看出,数学这们学科并不是单一存在的,他是一个代数和几何的结合,一个开发思维的科目,我们现在正需要在这种代数和几何的结合下拓展、开阔自己的思维.
此类题型,在2004年初三期末考试中已出现,从卷上的题可以看出,它考的是你的考场灵活,看你能不能抓住关键的词句.现在基本可以断定,此类题目在中考中不会在出现了,但是,我们还是需要锻炼,这不是为了中考,不是为了会做这道题,而是为了使自己的思维更加开阔,自己的头脑更加灵活.
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