【已知对一切正实数x,y不等式(a-3)x+ay-4倍更号xy≥0恒成立,则实数a的最小值为?】
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问题描述：
已知对一切正实数x,y不等式(a-3)x+ay-4倍更号xy≥0恒成立,则实数a的最小值为?
盛运焕回答：
原不等式等价于(x+y)*a≥3x+4√(xy)恒成立
等价于a≥(3x+4√(xy))/(x+y)
设y=k²x,k>0
等价于a≥(3+4k)/(1+k²)恒成立
等价于1/a≤(k²+1)/(4k+3)=(12k+9)/16+25/(64k+48)-3/4(这部就是恒等变形)恒成立
因为(12k+9)/16+25/(64k+48)≥10√3/3(利用a+b≥2√(ab))
1/a≤10√3/3-3/4
a≥(160√3+36)/1573
方法肯定没问题,时间充分不知算错没有
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