如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E是A1B1的中点．（Ⅰ）求证：A1B1∥平面ABD；（Ⅱ）求证：AB⊥CE；（Ⅲ）求三棱锥C-ABE的体积．
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问题描述：
如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC1上任意一点，E是A1B1的中点．
（Ⅰ）求证：A1B1∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：AB⊥CE；
（Ⅲ）求三棱锥C-ABE的体积．
丁凯回答：
（I）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是平行四边形
∴A1B1∥AB
又∵A1B1⊈平面ABD，AB⊆平面ABD，
∴A1B1∥平面ABD；
（II）取AB中点F，连接EF、CF
∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴侧面AA1B1B是矩形
∵E、F分别是A1B1、AB的中点，∴EF∥AA1，
∵AA1⊥平面ABC，AB⊆平面ABC，∴AA1⊥AB，可得EF⊥AB，
∵正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥AB
∵EF∩CF=F，∴AB⊥平面CEF
∵CE⊆平面CEF，∴AB⊥CE；
（III）∵正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为2
∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=34
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